Question

Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентам

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

сделаем подстановку

$\displaystyle y(x) = e^{\lambda x}$

теперь возьмем все нужные производные

$\displaystyle \lambda^3e^{\lambda x}-7\lambda^2e^{\lambda x}+6\lambda e^{\lambda x} = 0$

е за скобки

$\displaystyle e^{\lambda x}(\lambda^3-7\lambda^2+6\lambda)= 0$

$\displaystyle e^{\lambda x} \neq 0\qquad \Rightarrow \displaystyle \lambda^3-7\lambda^2+6\lambda= 0$

решим уравнение и получим три корня, каждый из который даст свое решение для у

$\displaystyle \lambda_1 = 0\qquad y_1=C_1\\\lambda_2 = 1 \qquad y_2=C_2e^x \\\lambda_3=6 \qquad y_3=C_3e^{6x}$

и тогда решение

$\displaystyle y(x) = y_1+y_2+y_3 = C_1+C_2e^x+C_3e^{6x}$