Question

АВ – диаметр окружности с центром О. Найдите координаты центра окружности, если А (7;-2) и В (-1;-4).
b) [2б] Запишите уравнение окружности, используя условия пункта а).

Answer 1

Ответ:

1.

$O(3; - 3 )$

2.

$(x - 3)^{2} + (y +3)^{2} = 17$

Объяснение:

Дано:

Окружность (O, R)

AB - диаметр; А (7;-2), В (-1;-4).

Найти:

1) О(х, у) -?

2) ур-ие окружности -?

Решение:

1)

Если АВ - диаметр, тогда т. О - середина АВ, т.е.:

$O \in AB; \: \: AO = OB \\ A(7; - 2); \: B( - 1; - 4) \: \: = > \: \: \\ = > \: \: O(x_0; y_0): \begin{cases}x_0 = \frac{A_x + B_x}{2} \\ y_0= \frac{A_y+ B_y}{2}\end{cases} \\ \begin{cases}x_0 = \frac{7 + ( - 1)}{2} = \frac{6}{2} = 3\\ y_0= \frac{ - 2 + ( - 4)}{2} = - \frac{6}{2} = - 3\end{cases} \\ O = O(3; - 3 )$

2)

Уравнение окружности задаётся формулой:

$(x - x_0)^{2} + (y - y_0)^{2} = {R}^{2}$

где х0, у0 - координаты центра окружности (т.О),

R - длина радиуса окружности

Координаты центра О уже вычислены:

$x_0 = 3; \: \: y_0= - 3$

Радиус окружности R равен длине отрезка ОА или ОВ:

$R = |OA| = |OB|$

Посчитаем по отрезку ОА:

$R = |OA| \\ |OA| = \sqrt{(A_x - x_0)^2+(A_y-y_0)^2} \\ A = A(7; -2); \: \: O = O(3; -3) \\ |OA| = \sqrt{(7 - 3)^2+( - 2 - ( - 3))^2} = \\ = \sqrt{4^2+1^2} = \sqrt{16+1} = \sqrt{17}$

Итак, известно:

$(x - x_0)^{2} + (y - y_0)^{2} = {R}^{2} \\ x_0=3; \: y_0 = -3; \: R= \sqrt{17}$

Соответственно, уравнение окружности примет вид:

$(x - 3)^{2} + (y -(-3))^{2} = {\sqrt{17}}^{2}$

или

$(x - 3)^{2} + (y +3)^{2} = 17$