Предмет: Алгебра
Автор: elkynv3166
Вопрос задан 3 года назад

найдите точку максимума функции y=lnx- x2/2

amanda2sempl: ОДЗ исходной функции: х > 0

amanda2sempl: Нули производной - потенциальные точки экстремума, расставим их на числовой оси (точка х = -1 - не входит в область определения, поэтому на числовой оси поставим только точку х = 1)

amanda2sempl: справа от х = 1 производная имеет знак минус (при х =2: 1/х - х = 1/2 - 2 = -1,5 меньше нуля), значит правее точки х = 1 исходная функция будет монотонно убывать

amanda2sempl: слева от х = 1 производная положительна: (при х = 1/2: 1/х - х = 2 - 1/2 = 1,5 больше нуля), значит левее точки х = 1 исходная функция будет монотонно убывать

amanda2sempl: (0;1) - промежуток возрастания, (1; + ∞ ) - убывания

amanda2sempl: вру: слева от х = 1 производная положительна: (при х = 1/2: 1/х - х = 2 - 1/2 = 1,5 больше нуля), значит левее точки х = 1 исходная функция будет монотонно возрастать

amanda2sempl: значит х = 1 - точка максимума исходной функции

amanda2sempl: подытожим: ОДЗ исходной функции: х > 0, производная: y' = (lnx - x²/2)' = 1/x - 2x/2 = 1/x - x, y' = 0 if 1/x - x = 0, откуда (1-x²)/х = 0, корни уравнения: х1 = 1, х2 = -1 при условии х не равен 0, х1 и х2 - нули производной - потенциальные точки экстремума; расставим их на числовой оси (точка х = -1 - не входит в область определения, поэтому на числовой оси поставим только точку х = 1)

amanda2sempl: справа от х = 1 производная имеет знак минус (при х =2: 1/х - х = 1/2 - 2 = -1,5 меньше нуля), значит правее точки х = 1 исходная функция будет монотонно убывать. Cлева от х = 1 производная положительна: (при х = 1/2: 1/х - х = 2 - 1/2 = 1,5 больше нуля), значит левее точки х = 1 исходная функция будет монотонно возрастать

amanda2sempl: (0;1) - промежуток возрастания, (1; + ∞ ) - убывания, значит х = 1 - точка максимума исходной функции