Question

Мастер обслуживает шесть однотипных станков. Вероятность того, что станок потребует внимания мастера в течение дня, равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение дня мастеру придется вмешаться в работу станков: а) меньше одного раза; б) больше двух раз; в) не меньше трёх раз; г) не больше двух раз; д) от двух до пяти раз.

Answer 1

Повторные испытания с двумя исходами:

придется вмешаться и не придется вмешаться.

p=0,2 -вероятность того, что станок потребует внимания мастера в течение дня

q=1-p=1-0,2=0,8- вероятность того, что станок не потребует внимания мастера в течение дня

По формуле Бернулли

$P_{n}(k)=C^{k}_{n}p^{k}q^{n-k}$ -  вероятность того что из серии в n испытаний событие появится ровно k раз

В задаче

n=6

а) меньше одного раза

k≤1

$P_{6}(0)=C^{0}_{6}\cdot0,2^{0}\cdot0,8^{6}=0,8^6=0,262144\\\\P_{6}(1)=C^{1}_{6}\cdot0,2^{1}\cdot0,8^{5}=6\cdot 0,2\cdot 0,8^5=0,393216$

О т в е т. a)

$P_{6}0)+P_{6}(1)=0,262144+0,393216=0,65536$

б) больше двух раз - 3;4;5;6  станков

$P_{6}(3)=C^{3}_{6}\cdot0,2^{3}\cdot0,8^{3}\\\\P_{6}(4)=C^{4}_{6}\cdot0,2^{4}\cdot0,8^{2}\\\\P_{6}(5)=C^{5}_{6}\cdot0,2^{5}\cdot0,8^{1}\\\\P_{6}(6)=C^{6}_{6}\cdot0,2^{6}\cdot0,8^{0}$

И складываем результаты

в) не меньше трёх раз - значит, 3; 4;5;6  станков

так же как в б)

г) не больше двух раз-  значит 0; 1; 2 станков

как в а) и добавить

$P_{6}(2)=C^{2}_{6}\cdot0,2^{2}\cdot0,8^{4}$

д) от двух до пяти раз- значит 2; 3; 4 ;5  станков

$P_{6}(2)=C^{2}_{6}\cdot0,2^{2}\cdot0,8^{4}\\\\P_{6}(3)=C^{3}_{6}\cdot0,2^{3}\cdot0,8^{3}\\\\P_{6}(4)=C^{4}_{6}\cdot0,2^{4}\cdot0,8^{2}\\\\P_{6}(5)=C^{5}_{6}\cdot0,2^{5}\cdot0,8^{1}$