Question

Можно ли вычеслить данный интеграл или решений нет ∅? (при вычислении необходимо найти tg(π/2), а его не существует)

Answer 1

В данном случае это несобственный интеграл второго рода (т.е. содержащий точку разрыва).

Интеграл $\int\limits^c_a {f(x)} \, dx$ при условии, что $c$ – точка разрыва, является сходящимся, если существует предел $\lim\limits_{b\to c-0}\int\limits^b_a {f(x)} \, dx$. В противном случае - интеграл расходится.

То есть, точнее будет сформулировать вопрос: сходится или расходится этот интеграл?

Отвечаем на этот вопрос, для этого рассмотрим предел:

$\lim\limits_{b\to \frac{\pi}{2} -0}\int\limits^b_0 {\dfrac{dx}{\cos^2x} } =\lim\limits_{b\to \frac{\pi}{2} -0}\left\mathrm{tg}\ x\right|^b_0=$

$=\lim\limits_{b\to \frac{\pi}{2} -0}(\mathrm{tg}\ b-\mathrm{tg}\ 0)=\lim\limits_{b\to \frac{\pi}{2} -0}(\mathrm{tg}\ b-0)=\lim\limits_{b\to \frac{\pi}{2} -0}\mathrm{tg}\ b$

Действительно, $\mathrm{tg}\ \dfrac{\pi}{2}$ не определен, а на промежутке $\left(-\dfrac{\pi}{2} ;\ \dfrac{\pi}{2}\right)$ тангенс возрастает от $-\infty$ до $+\infty$.

Поэтому, $\lim\limits_{b\to \frac{\pi}{2} -0}\mathrm{tg}\ b=+\infty$. Значит, исходный интеграл расходится.

На более простом уровне, то есть до изучения этой темы, думаю, не будет ошибкой сказать, что интеграл вычислить нельзя, или же сказать, что он равен $+\infty$.