Question

Найти координаты центра веса однородной плоской фигуры, ограниченной дугой синусоиды y=sin x и отрезком вехе Ox от x1=0 к x2=п (число пи).

Answer 1

Объяснение:

$y=sinx\ \ \ \ y=0\ \ \ \ x=0\ \ \ \ x=\pi \ \ \ \ C(x_c;y_c)=?\\x_c=\frac{M_y}{S}.\\ M_y=\int\limits^\pi _0 {x*(sinx-0)} \, dx =\int\limits^\pi _0 {(x*sinx)} \, dx=\left[\begin{array}{ccc}f=x\ \ \ \ dg=sinxdx\\\\dt=dx\ \ \ \ g=-cosx\end{array}\right] =\\=(-x*cosx)|^\pi _0+\int\limits^\pi _0 {cosx} \, dx =-\pi *(-1)-0+sinx|_0^\pi =\pi +0=\pi .\\S=\int\limits^\pi _0 {(sinx-0)} \, dx=\int\limits^\pi _0 {sinx} \, dx=-cosx|^\pi _0=-(-1-1)=-(-2)=2.\\x_c=\frac{\pi }{2} .$

$y_c=\frac{M_x}{S} .\\M_x=\frac{1}{2}*\int\limits^\pi _0 {(sin^2x*-0^2)} \, dx =\frac{1}{2}*\int\limits^\pi _0 {sin^2x} \, dx =\frac{1}{2} \int\limits^\pi _0 {\frac{1-cos2x}{2} } \, dx =\\=\frac{1}{2}*( \frac{x}{2}|_0^\pi -\int\limits^\pi _0 {\frac{cos2x}{2} }) \, dx =\frac{1}{2} *(\frac{\pi }{2} -(-\frac{sin2x}{4} ))|^\pi _0=\frac{1}{2} *( \frac{\pi }{2}-0)=\frac{\pi }{4} .$

$S=\int\limits^\pi _0 {(sinx-0)} \, dx =\frac{1}{2} \int\limits^\pi _0 {sinx} \, dx=2.\\y_c=\frac{\frac{\pi }{4} }{2} =\frac{\pi }{8}.\ \ \ \ \ \Rightarrow$

Ответ:    $C(\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{8}).$

Answer 2

Ответ:

координаты центра тяжести $\left(\frac{\pi}{2};\,\frac{\pi}{8}\right)$

Объяснение:

Решение в приложении