Все вершины трапеции АВСD принадлежат графику функции у=64-х^2, построенному в прямоугольной системе координат. Большее основание AD лежит на оси х. Какую наибольшую площадь может иметь трапеция АВСD?
Ответы
Находим координаты точек A и D.
Они на оси Ох - координата у = 0.
Тогда х = √64 = +-8.
Точка А(-8; 0), точка D(8; 0).
Пусть координата по оси Ох точки В равна -х, тоски С равна х.
Высота трапеции равна координате точек В и С по оси Оу.
То есть 64 - х².
Длина верхнего основания трапеции ВС = 2х.
Длина средней линии равна (2*8 + 2х)/2 = 8 + х.
Площадь трапеции S = (8 + х)*(64 - х²).
Раскроем скобки: S = 512 + 64x - 8x² - x³.
Функция площади трапеции определена в зависимости от переменной х.
Находим производную: S' = -3x² - 16x + 64.
Для нахождения экстремума приравниваем производную нулю.
-3x² - 16x + 64 = 0 или 3x² + 16x - 64 = 0.
Ищем дискриминант:
D=16^2-4*3*(-64)=256-4*3*(-64)=256-12*(-64)=256-(-12*64)=256-(-768)=256+768=1024;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(√1024-16)/(2*3)=(32-16)/(2*3)=16/(2*3)=16/6=8/3≈ 2.6667;
x_2=(-√1024-16)/(2*3)=(-32-16)/(2*3)=-48/(2*3)=-48/6=-8.
Отрицательное значение не принимаем. Если принять х = -8, то трапеция превращается в отрезок.
Определяем характер найденной критической точки. Для этого находим знаки производной левее и правее этой точки
x = 2 8/3 3
y' = -20 0 11.
Как видим, знак от - к +, значит, это максимум.
Подставляем значение х в уравнение площади.
S = (8 + (8/3))*(64 - (8/3)²) = (32/3)*(512/9) = (16384/27) ≈ 606,8148.
