Question

ДАЮ 100 БАЛОВ!!!
1)У рівнобічну трапецію вписано коло. Бічна сторона точкою дотику ді-
литься на відрізки завдовжки 16 см і 9 см. Знайдіть площу трапеції.
2) Перпендикуляр, проведений з точки перетину діагоналей ромба до його
сторони, ділить цю сторону на відрізки завдовжки 3 см і 27 см. Знайдіть
площу ромба.
3) Центр кола, описаного навколо чотирикутника ABCD, належать його
стороні СD. Знайдіть кути даного чотирикутника, якщо <ABD = 34°,
<BAC = 41°.​

Answer 1

1.

В точке касания — боковая сторона делится на отрезки: GA = 9; BG = 16.

Отрезки BE & BG — проведены с одной точки — B, и также являются касательными вписанной окружности.

Теорема о касательный, проведённых из одной точки такова: Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Изюминка здесь в том, что в точках касания — отрезки друг другу равны, что и означает, что: BE ≡ BG = 16.

Так как трапеция равнобедренная, то: HC = 16 => HC ≡ EC = 16 => BC = BE+EC = 16+16 = 32.

Одно и то же с отрезками: GE ≡ AF = 9; FD ≡ DH = 9 ⇒ AD = 9+9 = 18.

Теперь нам известны все стороны трапеции, то есть площадь (по теореме Брахмагупты) равна:

$\displaystyle\\S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)^2}\\\\p = \frac{a+b+2c}{2}\\\\\\p = \frac{32+18+2*25}{2}\\p = 50\\\\ S = \sqrt{(50-32)(50-18)(50-25)^2}\\S = \sqrt{360000} = 600cm^2.$

Вывод: S = 600см².

2. Перпендикуляр проведенный к стороне прямоугольного треугольника — является высотой проведенной к гипотенузе. Оно имеет такое свойство:

$\displaystyle\\h =\sqrt{3*27}\\\\h = \sqrt{81} \Rightarrow h=9.$

Тогда половина диагонали AC, или просто — гипотенуза AE — равна: $\displaystyle\\\\c = \sqrt{a^2+b^2}\\\\c = \sqrt{AF^2+EF^2}\\\\c = \sqrt{27^2+10^2} \Rightarrow\\\\c = \sqrt{829} = 28.8cm.$

Теперь найдём катет ED:

$ED = \sqrt{AD^2-EA^2}\\ED = \sqrt{30^2-28.8^2}\\ED = \sqrt{70.7} \Rightarrow ED = 8.4cm.$

Значит, площадь треугольника AED равна:

$\displaystyle\\S_{AED} = \frac{ED*EA}{2}\\\\S = \frac{28.8*8.4}{2}\\\\S = 121cm^2.$

Так как диагонали ромба делят ромб на 4 равные части, то: $S_{ABCD} = 121*4 = 484cm^2.$

Вывод: Площадь равна 484см².

3.

Так как центр описанной окружности лежит на стороне CD, то CD — диаметр.

Так как CD — диаметр, то: <CBD = <CAD = 90° (оба вписанных угла — опираются на диаметр, то есть они равны градусной мере половины полукруга — 180/2 = 90°).

Так как: $<ABD = 34^o; <BAC = 41^o$, то:

$\displaystyle\\<B = \: <CBD + \: <ABD = 90+34 = 124^o;\\<A = \: <BAC+ \: <CAD = 41+90 = 131^o.$

Около четырёхугольника можно описать окружность только в том случае, если сумма внутренних противоположных углов равна 180°, то есть:

$\displaystyle\\<B\: + \: <D = 180^o;\\<A\: + \: <C = 180^o \Longrightarrow\\<D = 180\:- \: <B = 180-124 = 56^o;\\<C = 180\:-<A = 180-131 = 49^o.$

Вывод: <B = 124°; <A = 131°; <D = 56°; <C = 49°.