Question

Решить дифференциальное уравнение второго порядка:
а) найти общее решение; б) найти решение задачи Коши.

Answer 1

a) $(x^2+1)y''+2xy'=2x(x^2+1); ((x^2+1)y')'=2x^3+2x;$

$(x^2+1)y'=\frac{x^4}{2}+x^2+C_1;\ y'=\frac{x^4+2x^2+2C_1}{x^2+1};\ y'=\frac{(x^2+1)^2+2C_1-1}{x^2+1};$

$y'=x^2+1+\frac{2C_1-1}{x^2+1};\ y=\frac{x^3}{3}+x+(2C_1-1)\, arctg\, x+C_2$

б) $y''y^3+36=0;\ y'=p(y); y''=p'p;\ p'py^3+36=0;\ \int p\, dp=-\int \frac{36\, dy}{y^3};$

$\frac{p^2}{2}=\frac{18}{y^2}+C_1;\ (y')^2=\frac{36}{y^2}+C_1;$ используя начальные условия, получаем

$4=4+C_1;\ C_1=0\Rightarrow (y')^2=\frac{36}{y^2};\ y'=\pm \frac{6}{y};\ \int y\, dy=\pm 6\int dx;\ \frac{y^2}{2}=\pm 6x+C_2;$

снова используем начальные условия: $\frac{9}{2}=0+C_2;\ C_2=\frac{9}{2};\ y^2=\pm 12x+9;\ y=\pm\sqrt{\pm 12x+9}$

Но y(o)=3>0, поэтому $y=\sqrt{\pm 12x+9}$

Проверим, какой знак перед  x нам подходит. $y'=\frac{\pm 12}{2\sqrt{\pm 12x+9}};$

подставим x=0, y'(0)=2:

$2=\pm 2\Rightarrow$ выбираем плюс, то есть $y=\sqrt{12x+9}$