Question

Помогите дам 100 баллов​

Answer 1

Треугольник АВС известен с точностью до подобия. Предположим, что АС=2. Найдем ВС по теореме синусов:

$\frac{BC}{\sin 30^{\circ}}=\frac{AC}{\sin 45^{\circ}};\ BC=\sqrt{2}.$

Найдем ВМ по теореме косинусов из треугольника ВМС:

$BM^2=MC^2+BC^2-2\cdot MC\cdot BC\cdot \cos 105^{\circ}=1+2-2\cdot 1\cdot \sqrt{2}\cdot \cos(135^{\circ}-30^{\circ})=$

$=3-2\sqrt{2}(\cos 135^{\circ}\cdot \cos 30^{\circ}+\sin 135^{\circ}\cdot \sin 30^{\circ})=3-2\sqrt{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2})=$

$=3+\sqrt{3}-1=2+\sqrt{3};\ BM=\sqrt{2+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{(\sqrt{3}+1)^2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}.$

Найдем угол $\varphi=\angle ABM$ по теореме синусов из треугольника ABM:

$\frac{AM}{\sin\varphi}=\frac{BM}{\sin 30^{\circ}}; \sin\varphi=\frac{1}{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{4}=\sin 45^{\circ}\cdot\cos 30^{\circ}-\cos 45^{\circ}\cdot \sin 30^{\circ}=$

$=\sin (45^{\circ}-30^{\circ})=\sin 15^{\circ}\Rightarrow \left [ {{\varphi=15^{\circ}} \atop {\varphi=180^{\circ}-15^{\circ}}} \right. .$

Но поскольку $\varphi<\angle ABC=45^{\circ}\Rightarrow \varphi =15^{\circ}$

Замечание. Задачу можно сделать намного проще, если заметить, что треугольники ABC и BMC подобны ( угол С у них общий, а

$\frac{AC}{BC}=\frac{BC}{MC}.$) Поэтому угол MBC= углу A=30°, а тогда угол ABM=45°-30°=15°.

Ответ: 15°