Question

32 балла. Докажите, что сумма диагоналей четырёхугольника меньше его периметра (рис. 18.36)

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Рассмотрим выпуклый четырехугольник ABCD. Докажем, что  AC+BD<p

Так как четырехугольник выпуклый, то каждая диагональ разбивает его на два треугольника.

Проведем диагональ АС. Согласно неравенству треугольника,

AC<AB+BC

AC<AD+CD  

Сложив почленно данные неравенства, получим, 2AC<AB+BC+AD+CD

2AC<p, AC=p/2  

Проведем диагональ BD. Проведя аналогичные рассуждения, получим, BD<p/2

Сложив последние два неравенства, имеем AC+BD<p

Answer 2

рассмотрим ваш рисунок. одна диагональ разбивает четырехугольник на два треугольника, назовем их верхний и нижний. для верхнего есть две стороны х и у и диагональ к, к<х+у  по неравенству треугольника, аналогично для нижнего треугольника, у которых стороны а и с и диагональ к, к<а+с, из этих двух неравенств следует, что 2к меньше Р, где Р- периметр, равный х+у+а+с. значит, к меньше полупериметра.

Такое же неравенство можно доказать для второй диагонали, так что.

если диагонали сложить. то их сумма окажется меньше периметра четырехугольника. Доказано.