Question

ПРОШУ ПОМОЧЬ, ОЧЕНЬ НУЖНО 35 БАЛЛОВ.
Найти неопределенный интеграл с помощью универсальной
тригонометрической подстановки.

Answer 1

Ответ:

$\int\limits \frac{dx}{3 + 5 \cos(x) } \\ \\ \\ \cos(x) = \frac{1 - {t}^{2} }{1 + {t}^{2} } \\dx = \frac{2dt}{1 + {t}^{2} } \\ t = tg \frac{x}{2} \\ \\ \int\limits \frac{2dt}{1 + t {}^{2} } \times \frac{1}{3 + 5 \times \frac{1 - {t}^{2} }{1 + {t}^{2} } } = \\ = \int\limits \frac{2dt}{1 + t {}^{2} } \times \frac{1 + {t}^{2} }{3 (1 + {t}^{2}) + 5(1 - {t}^{2} ) } = \\ = \int\limits \frac{2dt}{3 + 3 {t}^{2} + 5 - 5 {t}^{2} } = \int\limits \frac{2dt}{ - 2 {t}^{2} + 8} = \\ = \int\limits \frac{dt}{4 - t {}^{2} } = \int\limits \frac{dt}{ {2}^{2} - t {}^{2} } = \\ = \frac{1}{4} ln( | \frac{2 + t}{2 - t} | ) + C = \frac{1}{4} ln( | \frac{2 -tg \frac{x}{2} }{2 + tg \frac{x}{2} } | ) + C$