Question

В треугольнике ABC известно, что AB= BC, AC = 14. Из точки D, середины AB, проведён перпендикуляр DE к стороне AB до пересечения со стороной BC в точке E. Периметр треугольника ABC равен 66. Найдите периметр треугольника AEC.

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

Первый способ:

Рассмотрим треугольник ABE. Заметим, что в нем ED - это и высота, и медиана (по условию - это перпендикуляр, проведенный к середине стороны AB). Тогда такой треугольник равнобедренный, т.е. $AE=BE$. Тогда искомый периметр равен $P=AE+EC+AC=BE+EC+AC=BC+AC$. Задача свелась к нахождению боковой стороны треугольника ABC. Понятно, что $AB=BC=\dfrac{(66-14)}{2}=26$. Значит искомый периметр $P=26+14=40$.

Приведу другой способ решения:

Понятно, что $AB=BC=\dfrac{(66-14)}{2}=26$. Пусть $BE=x$. Тогда $EC=26-x$. По теореме Пифагора: $DE^2=x^2-169$. Применим эту теорему еще раз: $AE^2=169+x^2-169=x^2$. Тогда $AE=x$. Найдем теперь периметр треугольника AEC: $P=x+26-x+14=40$.

Задача решена!