Question

Вычислить интеграл с пошаговым решением

Answer 1

Ответ:

$\int\limits \sqrt{ {e}^{2x} + 1} dx$

Замена1:

$2x = u \\ 2dx = du \\ dx = \frac{du}{2}$

$\frac{1}{2} \int\limits \sqrt{ {e}^{u} + 1 } du$

Замена2

${e}^{u} + 1 = t \\ {e}^{u} = t - 1 \\ e {}^{u} du = dt \\ du = \frac{dt}{ {e}^{u} } = \frac{dt}{t - 1}$

$\frac{1}{2} \int\limits \sqrt{t} \times \frac{dt}{t - 1}$

Замена3:

$\sqrt{t} = w \\ t = w {}^{2} \\ dt = 2wdw$

$\frac{1}{2} \int\limits \frac{2w \times wdw}{w {}^{2} - 1 } = \int\limits \frac{w {}^{2} dw}{w {}^{2} - 1} = \\ = \int\limits \frac{ {w}^{2} - 1 + 1}{w {}^{2} - 1} dw = \int\limits(1 + \frac{dw}{w {}^{2} - 1} ) = \\ = w + \frac{1}{2} ln( | \frac{w - 1}{w + 1} | ) + C =$

$= \sqrt{t} + \frac{1}{2} ln( | \frac{ \sqrt{t} - 1}{ \sqrt{t} + 1 } | ) + C = \\ = \sqrt{ {e}^{u} + 1} + \frac{1}{2} ln( | \frac{ \sqrt{ {e}^{u} + 1} - 1}{ \sqrt{ {e}^{u} + 1 } + 1} | ) + C= \\ = \sqrt{ {e}^{2x} + 1} + \frac{1}{2} ln( | \frac{ \sqrt{ {e}^{2x} + 1} - 1 }{ \sqrt{ {e}^{2x} + 1 } + 1} | ) + C$