В треугольнике АВС медиана AD и биссектриса ВЕ пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АВС, если угол АОВ равен 90 градусов, а площадь треугольника АОЕ равна 2.

Аноним: А чертеж есть?

tsvetkovtaa: Нет. Ну по сути это произвольный треугольник, в котором проведена медиана и биссектриса.

Аноним: А угол 90?.не получается начертить

tsvetkovtaa: Медиана перпендикулярна биссектрисе. Они пересекаются под таким углом

Ответы

Ответ дал: Hrisula

Ответ: 24 (ед. площади)

Объяснение (подробно):

В ∆ АВD биссектриса ВО перпендикулярна стороне АD, ⇒ ВО - высота ∆ АВD. Если биссектриса треугольника еще и высота, этот треугольник - равнобедренный. ВА=ВD, АО=ОD.

Примем АВ=а, тогда ВС=2а, т.к. ВD=DC.

Примем АО=ОD=m

Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении сторон, заключающих этот угол.⇒

AE:EС=АВ:ВС=1:2.

Пусть АЕ=b, ЕС=2b.

Рассмотрим ∆ АDC и ∆ АОЕ. Они имеют общий угол А.

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то отношение площадей этих треугольников равно отношению произведений сторон, заключающих равные углы.

Ѕ(АОЕ)=m•b

S(ADE)=2m•3b =>

Ѕ(АОЕ):S(ADE)=mb:6mb=1/6 ⇒

S(ADK)=6•S(AOE)=6•2=12

Медиана делит треугольник на два равновеликих.

S(ABD)=S(ADC).

Ѕ(АВС)=2Ѕ(АDK)=2•12=24 (ед. площади)

Приложения: