Question

Разложить функцию в ряд Маклорена:
y=$y=\frac{e^x-1}{x}$

Answer 1

Ответ: (eˣ-1)/x=∑xⁿ⁻¹/n!, где n=1,2,...

Пошаговое объяснение:

Разложим в ряд Маклорена функцию g(x)=eˣ-1 и затем разделим данный ряд на x.

g(x)=a0+a1*x+a2*x²+...+aₙ*xⁿ+...

Коэффициенты aₙ определяются формулой: aₙ=g⁽ⁿ⁾(0)/n!, где g⁽ⁿ⁾(0) - значение n-ной производной функции g(x) в точке x=0. Находим aₙ:

a0=g(0)=e⁰-1=0;

a1=g'(0)/1!=e⁰/1=1;

a2=g"(0)/2!=e⁰/2=1/2;

......................................

aₙ=e⁰/n!=1/n!  

Отсюда g(x)=x+x²/2+...+xⁿ/n!+...=∑xⁿ/n!, где n=1,2,...

Тогда y(x)=g(x)/x=∑xⁿ⁻¹/n!, где n=1,2,...