Question

Найти частное решение дифференциального уравнения,
которое удовлетворяет приведенным начальным условиям:

Answer 1

Ответ:

Это линейное ДУ

$(1 + {x}^{2} )y' + y = arctgx \\ | \div (1 + {x}^{2} ) \\ y '+ \frac{y}{1 + {x}^{2} } = \frac{arctgx}{1 + {x}^{2} } \\ \\ y = uv \\ y' = u'v + v'u \\ \\ u'v + v'u+ \frac{uv}{1 + {x}^{2} } = \frac{arctgx}{1 + {x}^{2} } \\ u'v + u(v' + \frac{v}{1 + {x}^{2} } ) = \frac{arctgx}{1 + {x}^{2} } \\ \\ 1) v'+ \frac{v}{1 + {x}^{2} } = 0 \\ \frac{dv}{dx} = - \frac{v}{1 + {x}^{2} } \\ \int\limits \frac{dv}{v} = - \int\limits \frac{dx}{1 + {x}^{2} } \\ ln(v) = - arctgx \\ v = {e}^{ - arctgx} \\ \\ 2)u'v = \frac{arctgx}{1 + {x}^{2} } \\ \frac{du}{dx} \times {e}^{ - acrtgx} = \frac{arctgx}{1 + {x}^{2} } \\ u = \int\limits {e}^ {arctgx} arctgx \times \frac{dx}{1 + {x}^{2} }$

По частям:

$\int\limits {e}^{arctgx} arctgx \frac{dx}{1 + {x}^{2} } \\ \\ U= arctgx \: \: \: dU = \frac{dx}{1 + {x}^{2} } \\ dV = \frac{ {e}^{arctgx} }{1 + {x}^{2} } \: \: \: V = \int\limits {e}^{arctgx} d(arctgx) = \\ = {e}^{arctgx} \\ \\ UV - \int\limits \: VdU = \\ = {e}^{arctgx} arctgx - \int\limits {e}^{arctgx} \frac{dx}{1 + {x}^{2} } = \\ = {e}^{arctgx} arctgx - {e}^{arctgx} + C = \\ = {e}^{arctgx}( arctgx - 1) + C$

Получаем:

$u = {e}^{arctgx} (arctgx - 1) + C \\ \\ y = {e}^{ - arctgx} \times ( {e}^{arctgx} (arctgx - 1) + C) = \\ = arctgx - 1 + C {e}^{ - arctgx}$

общее решение

$y(0) = 1$

$1 = arctg0 - 1 + C {e}^{0} \\ C = 1 + 1 = 2$

$y = arctgx - 1 + 2 {e}^{ - arctgx}$

частное решение