Question

Обч. визн. інтеграл :3333333333

Answer 1

Ответ:

$\int\limits^{\pi/2}_0 {cos^3(x)} \, dx =\frac{2}{3}$

Пошаговое объяснение:

Найти интеграл

$\int\limits^{\pi/2}_0 {cos^3(x)} \, dx$

Определим в начале неопределенный интеграл

$\int\limits{cos^3(x)} \, dx=\int\limits{cos(x)\cdot cos^2(x)} \, dx$

Применяем основное тригонометрическое тождество

sin²x + cos²x = 1

$\int\limits{cos(x)\cdot cos^2(x)} \, dx=\int\limits{(cos(x)\cdot (1-sin^2(x)))} \, dx$

Сделаем замену переменных

u= sin(x)   u' = cos(x)  ⇒ du = cos(x)dx

$\int\limits{(cos(x)\cdot (1-sin^2(x)))} \, dx = \int\limits {1-u^2} \, du=u-u^3/3+C$

Сделаем обратную замену переменных

$u-u^3/3 = sinx-sin^3(x)/3$

Поэтому неопределенный интеграл равен

$\int\limits{cos^3(x)} \, dx=sin(x)-\frac{sin^3(x)}{3}+C$

Определим теперь определенный интеграл

$\int\limits^{\pi/2}_0 {cos^3(x)} \, dx =sin(x)-\frac{sin^3(x)}{3}\left[\begin{array}{ccc}\frac{\pi}{2} \\0\end{array}\right]=sin(\frac{\pi}{2})-\frac{sin^3(\frac{\pi}{2})}{3}-sin(0)+\frac{sin^3(0)}{3}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

Answer 2

Ответ:

Пошаговое объяснение:

чтобы каждый раз не писать границы

сначала найдем неопределенный интеграл∫cos³xdx=∫cos²xcosxdx=∫cos²xd(sinx)=∫(1-sin²xd(sinx)=

=sinx-((sin³x)/3)+c

теперь найдем определенный интеграл

п/2

∫cos³xdx=

0

                     п/2

=(sinx-((sin³x)/3)=   (sinп/2-((sin³п/2)/3)-(sin0-((sin³0)/3)

                       0

=1-(1/3)=2/3