Question

20 баллов
Определите вид треугольника , если вершины имеют координаты M(-3;-1; 2) , N(1; 3;-1) и P(0;-1; 1)

Answer 1

Ответ:

треугольник MNP - разносторонний, тупоугольный (уг.Р > 90°)

Объяснение:

Дано:

$M(-3;-1; 2) , N(1; 3;-1), P(0;-1; 1)$

Для понимания, что это за ∆-к, следует вычислить длины его сторон (как известно, для вычисления всех составляющих треугольника длин 3х его сторон достаточно)

Длину отрезка по координатам концов этого отрезка вычисляют по формуле

$\small{|AB|{=}\sqrt{(A_x{-}B_x)^2+(A_y{-}B_y)^2+(A_z{-}B_z)^2}}$

$M(-3;-1; 2) , N(1; 3;-1), P(0;-1; 1) \\ MN = ...; \: MP = ...; \: NP ...$

$M(-3;-1; 2) , N(1; 3;-1), P(0;-1; 1) \\ \small{|MN|{ = } \sqrt{(1{ - }({ - }3))^{2}{ +} (3{ - }({ -} 1))^{2 }{ + }( - 1 - 2)^{2}} = } \\ \small{ = \sqrt{4^{2} + 4^{2} + ( - 3)^{2}} = \sqrt{16 + 16 + 9} = \sqrt{41}} \\ \small{|MP|{ = } \sqrt{(0{ - }({ - }3))^{2}{ +} ({ -} 1{ - }({ -} 1)^{2 }{ + }(1 - 2)^{2}} = } \\ \small{ = \sqrt{3^{2} + {0}^{2} + ( - 1)^{2}} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}} \\ \small{ |NP|{ = } \sqrt{( 0{ - }1)^{2}{ +} ( - 1{ - }3)^{2 }{ + }( 1 - ( - 1))^{2}} = } \\ \small{{ = } \sqrt{( - 1)^{2} + {( - 4)}^{2} +2^{2}}{ =} \sqrt{1 + 16 + 4} = \sqrt{21}}$

$MN=\sqrt{41};\: MP=\sqrt{10};\: NP=\sqrt{21}$

Все стороны имеют различную длину =>

треугольник разносторонний

Наибольшую длину имеет сторона MN.

По Т.косинусов произведем оценку угла напротив этой длины

$\small{MN^2{ = }MP^2{+}NP^2{-}MP {\cdot}{NP}{\cdot }\cos(\angle{P})} \\ 41 = 10 + 21 - \sqrt{21}{\cdot}\sqrt{10}{\cdot }\cos(\angle{P}) \\ \sqrt{210}\cos(\angle{P}) = 10 + 21 - 41 = - 10 \\ \cos(\angle{P}) = - \frac{10}{\sqrt{210}} = - \frac{10\sqrt{210}}{{210}}=-\frac{\sqrt{210}}{{21}} < 0 \\ \cos(\angle{P}) < 0 = > \angle{P} > 90^{o}$

а значит, треугольник тупоугольный, с тупым углом Р