Question

Найти общие решения дифференциальных уравнений первого порядка.СРОЧНООО

xy′ = y ln$\frac{y}{x}$ + y;

Answer 1

$xy'=y\ln\dfrac{y}{x} +y$

Разделим уравнение на х:

$y'=\dfrac{y}{x} \ln\dfrac{y}{x} +\dfrac{y}{x}$

Замена: $\dfrac{y}{x} =t$

$\Rightarrow y=tx$

$\Rightarrow y'=t'x+tx'=t'x+t$

Получим уравнение:

$t'x+t=t\ln t+t$

$x\dfrac{dt}{dx} =t\ln t$

$\dfrac{dt}{t\ln t} =\dfrac{dx}{x}$

$\dfrac{d(\ln t)}{\ln t} =\dfrac{dx}{x}$

$\ln|\ln t|=\ln |x|+\ln C$

$\ln|\ln t|=\ln Cx$

$\ln t=Cx$

$t=e^{Cx}$

Обратная замена:

$\dfrac{y}{x} =e^{Cx}$

$\boxed{y=xe^{Cx}}$