ОБЪЯСНИТЕ КАК РЕШАТЬ Найдите точку максимума y=(4-x) e^(x+4)
Проблема в том, что я не понимаю, как найти производную, в примерах по-разному пишут и даже не объясняют
Ответы
Точка max Х=3
Решение задания прилагаю
Ответ:
3
Пошаговое объяснение:
1) Данная функция y=(4-x) · e^(x+4) представляет собой произведение линейной функции (4-x) и показательной функций e^(x+4), которые определены на всей действительной оси, то есть в ответе может быть любое значение х от -∞ до + ∞.
Это значит, что обе функции дифференцируемы, то есть для каждой из них в любой точке существует производная.
2) Перед тем, как брать производную, иногда лучше сделать умножение, то есть раскрыть скобки.
Раскрываем скобки:
у = (4-x) · e^(x+4) = 4 · e^(x+4) - х · e^(x+4)
3) Берём производную:
у' = [4 · e^(x+4) - х · e^(x+4)]'
Теорема 1:
Производная суммы конечного числа дифференцируемых функций равна соответствующей сумме производных этих функций.
Речь идёт, конечно, об алгебраической сумме. Поэтому, если разность, как у нас, то это не должно смущать.
Получаем:
у' = [4 · e^(x+4) - х · e^(x+4)]' = [4 · e^(x+4)]' - [х · e^(x+4)]'
4) В первой скобке [4 · e^(x+4)]' первый сомножитель 4 - это константа, или постоянный множитель.
Теорема 2.
Постоянный множитель можно выносить за знак производной.
Второй сомножитель e^(x+4) необходимо рассмотреть более подробно. Если бы это было у= e^х, то вопросов бы не было, так как у'=(e^х)'= e^х - это стандартное табличное значение производной. Но если вместо х встречается какое-либо другое значение (как в нашем примере х+4), то это новое значение надо обозначить буквой u и применить формулу для сложной функции.
Теорема 3.
Производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по х.
То есть: если у= e^u, то у '= (e^u)' = e^u · u'
Что получается со вторым множителем:
[4 · e^(x+4)]' = 4 · [e^(x+4)]' (вынесли константу за знак производной) =
= 4 · [e^u]' (заменили х+4 на u) = 4 · e^(х+4) · (х+4)' (применили Теорему 3) = 4 · e^(х+4) · (1+0) (применили Теорему 1, далее - Теорему 4 и Теорему 5, тексты этих теорем смотри ниже) = 4 · e^(х+4).
Теорема 4.
Производная функции у = x^n равна n· х^(n-1).
То есть (х)' = 1 · х ^ (1-1) = х^0 = 1
Теорема 5.
Производная постоянной равна нулю.
То есть (4)' = 0
5) Мы расписали первую скобку:
у' = [4 · e^(x+4) - х · e^(x+4)]' = [4 · e^(x+4)]' - [х · e^(x+4)]'
Переходим ко второй скобке:
у' = [4 · e^(x+4) - х · e^(x+4)]' = [4 · e^(x+4)]' - [х · e^(x+4)]'
Во второй скобке - произведение.
Теорема 6.
Производная от произведения двух дифференцируемых функций u и v равна произведению производной первой функции на вторую функцию плюс произведение производной второй функции на первую функцию, то есть:
если у = u · v, то у' = u' · v + v' · u.
[х · e^(x+4)]' = х' · e^(x+4) + [e^(x+4)]' · х = 1 · e^(x+4) + e^(х+4) (решение и комментарий см. п. 4) · х = e^(x+4) + х · e^(x+4)
6) у' = [4 · e^(x+4) - х · e^(x+4)]' = [4 · e^(x+4)]' - [х · e^(x+4)]' =
= 4 · e^(х+4) - [e^(x+4) + х · e^(x+4) =
= 4 · e^(х+4) - e^(x+4) - х · e^(x+4) = (приводим подобные)
= 3 · e^(х+4) - х · e^(x+4) = (выносим общий множитель за скобки)
= e^(x+4) · (3-х)
Таким образом:
у' = e^(x+4) · (3-х)
7) В точке экстремума производная равна нулю:
у' = e^(x+4) · (3-х) = 0
Произведение равно нулю, когда один из сомножителей равен нулю. А так как e^(x+4) ≠ 0 ни при каких значениях х, то
3-х=0
х = 3
Ответ: х = 3.
ПРИМЕЧАНИЕ
Найти точку - значит, найти х.
В этом случае у искать не надо.