Question

tg x = ctg 5 x (помогите)

Answer 1

$\mathrm{tg}\,x = \mathrm{ctg}\,5 x$

$\mathrm{tg}\,x - \mathrm{ctg}\,5 x=0$

$\mathrm{tg}\,x - \mathrm{tg}\,\left(\dfrac{\pi}{2} -5 x\right)=0$

Воспользуемся формулой разностью тангенсов:

$\dfrac{\sin \left(x-\left(\dfrac{\pi}{2}-5x \right)\right)}{\cos x\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-5x \right)} =0$

$\dfrac{\sin \left(x-\dfrac{\pi}{2}+5x\right)}{\cos x\sin5x} =0$

$\dfrac{\sin \left(6x-\dfrac{\pi}{2}\right)}{\cos x\sin5x} =0$

Дробь равна нулю когда числитель равен нулю, а знаменатель нулю не равен. Приравниваем числитель к нулю:

$\sin \left(6x-\dfrac{\pi}{2}\right)=0$

$-\sin \left(\dfrac{\pi}{2}-6x\right)=0$

$\cos6x=0$

$6x=\dfrac{\pi}{2} +\pi n$

$\boxed{x=\dfrac{\pi}{12} +\dfrac{\pi n}{6} ,\ n\in\mathbb{Z}}$

Остается выяснить, в каких точках обнуляется знаменатель. Это происходит в точках:

$\cos x=0\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2} +\pi k$

$\sin 5x=0\Rightarrow x=\dfrac{\pi k}{5}$

Но точки не совпадают с найденными решениями. Поэтому все найденные решения попадают в ответ.

Ответ: $\dfrac{\pi}{12} +\dfrac{\pi n}{6} ,\ n\in\mathbb{Z}$