Question

Для квадратного трехчлена f(x)=ax2+bx+c, где a>0, выполняется условие |f(1)|=|f(2)|=|f(3)|=1. Найдите его коэффициенты.

Answer 1

Ответ:

$\boxed{ \left \{\begin{array}{l} a = 2 \\ b = -8 \\ c = 7\end{array} \right. \left \{\begin{array}{l} a = 1 \\ b = -3 \\ c = 1\end{array} \right. \left \{\begin{array}{l} a = 1 \\ b = -5 \\ c = 5\end{array} \right. }$

Пошаговое объяснение:

$f(x) = ax^{2} + bc + c$ при a > 0

$|f(1)| = |f(2)| = |f(3)| = 1$

$f(1) = a * 1^{2} + b * 1 + c = a + b + c$

$f(2) = a * 2^{2} + 2b + c = 4a + 2b + c$

$f(3) = a * 3^{2} + 3b + c = 9a + 3b + c$

Так как по условию $|f(1)| = |f(2)| = |f(3)| = 1$, то параболы должны проходить через точки (1;-1), (1;1), (2;-1), (2;1), (3;-1), (3;1), при этом так как

a > 0, то ветви параболы направленны вверх.

Пусть вершина параболы находится в точке (2;-1)

Вершина параболы считается по формуле:

$x_{0} = -\dfrac{b}{2a}$. $2 = \frac{b}{-2a} \Longrightarrow b = -4a$.

$\displaystyle\left \{ {{f(2) = 4a + 2b + c = -1} \atop {f(1) = a + b + c = 1}} \right.$$\displaystyle\left \{ {{4a - 8a + c = -1} \atop {a - 4a + c=1}} \right.$  $\displaystyle\left \{ {{-4a+ c = -1} \atop {- 3a + c=1}} \right.$$\displaystyle\left \{ {{c =4a -1} \atop {c=1 + 3a}} \right.$

4a - 1 = 1 + 3a

a = 2

b = -4a = -4 * 2 = -8

c = 1 + 3a = 1 + 3 * 2 = 1 + 6 = 7

Пусть парабола проходит через точки B,D .Так как точки B,D - симметричны по свойствам параболы и точка E тоже принадлежит параболе, то точка симметричная точки E, это точка T(0;1).

f(0) = a * 0 + b * 0 + c = 1; следовательно c = 1.

$\displaystyle\left \{ {{f(3) = 9a + 3b + 1 = 1} \atop {f(1) = a + b + 1 = -1}} \right.$$\displaystyle\left \{ {{9a + 3b = 0} \atop {a + b = -2}} \right.$  $\displaystyle\left \{ {{3b = -9a|:3} \atop {a + b=-2}} \right.$$\displaystyle\left \{ {{b = -3a} \atop {a -3a =-2}} \right.$

a - 3a = -2

-2a = -2|:(-2)

a = 1

b = -3a = -3 * 1 = -3

c = 1

Пусть парабола проходит через точки F,D,A.

f(1) = a + b + c = 1

f(2) = 4a + 2b + c = -1

f(3) = 9a + 3b + c = -1

$\left \{\begin{array}{l} a + b + c = 1 \\ 4a + 2b + c =-1 \\ 9a + 3b + c =-1\end{array} \right.$ $\left \{\begin{array}{l} c = 1 - a - b \\ 4a + 2b + c =-1 \\ 9a + 3b + c =-1\end{array} \right.$ $\left \{\begin{array}{l} c = 1 - a - b \\ 4a + 2b + 1 - a - b =-1 \\ 9a + 3b + 1 - a - b =-1\end{array} \right.$

$\displaystyle\left \{ {{3a +b=-2} \atop {8a + 2b=-2}} \right.$ $\displaystyle\left \{ {{b=-2 - 3a} \atop {8a + 2(-2 - 3a)=-2}} \right.$

8a + 2(-2 - 3a) = -2

8a - 4 - 6a = -2

2a = 2|:2

a = 1

b = -2 - 3a = 2 - 3 * 1 = -5

c = 1 - a - b = 1 - 1 + 5 = 5