Сколько существует возрастающих арифметических прогрессий из 22 различных натуральных чисел, в которых все числа не больше 1000?
Ответы
Ответ:
23312
Объяснение:
По условию все члены арифметических прогрессий различные натуральные числа, откуда следует d∈N.
Чтобы получить возрастающую арифметическую прогрессию наименьшее значение разности d можем выбрать 1.
Определим наибольшее значение d из условия:
a₁=1, n=22, a₂₂≤1000.
Известно, что общий член арифметической прогрессии можно определить по формуле: aₓ=a₁+(x-1)•d.
Отсюда
a₂₂=1+(22-1)•d≤1000 ⇔ 21•d≤999 ⇔ d ≤ 47 4/7.
Так как d натуральное число, то наибольшее значение d равен 47.
При d = 47 определим наибольшее значение a₁ из условия:
a₂₂≤1000, n=22, d = 47.
Тогда
a₂₂=a₁+(22-1)•47≤1000 ⇔ a₁≤1000-987=13.
Отсюда, при d = 47 наименьшее значение a₁=1 и наибольшее значение a₁=13, то есть при d = 47 получаем всего 13 возрастающих арифметических прогрессий из 22 различных натуральных чисел.
Нетрудно увидеть, что при d = 1 наименьшее значение a₁=1 и наибольшее значение a₁=979, то есть при d = 1 получаем всего 979 возрастающих арифметических прогрессий из 22 различных натуральных чисел.
Теперь определим шаг изменений наибольших значений a₁:
(979-13)/(47-1)=966/46=21.
Значит, получаем следующую арифметическую прогрессию из наибольших значений a₁:
b₁=13, d=21, b₄₇=979.
Сумма первых x членов арифметической прогрессии {bₓ} вычисляется по формуле
Sₓ=(b₁+bₓ)•x/2.
Вычислим сумму первых 47 членов арифметической прогрессии {bₓ}:
S₄₇=(b₁+b₄₇)•47/2=(13+979)•47/2=992•47/2=496•47=23312.