Question

исследуйте ряд на сходимость​

Answer 1

$a_n=\frac{\sqrt{n}-1}{n(n+1)}\sim \frac{\sqrt{n}}{n^2}=\frac{1}{n^{3/2}}=b_n.$

Ряд $\sum b_n$, как известно, сходится (это ряд Дирихле, по другой терминологии обобщенный гармонический, с показателем p=3/2>1).  Поэтому (по предельному признаку сравнения) исходный ряд $\sum a_n$ также сходится.