Question

Диференційне рівняння
Допоможіть з вирішенням

Answer 1

1) $y^{-3/2}\frac{dy}{dx}=e^x;\ \int y^{-3/2}\, dy=\int e^x\, dx;\ \frac{y^{-1/2}}{-1/2}=e^x+C;\ \frac{2}{\sqrt{y}}=-e^x-C.$

Найдем C, используя начальные условия y(0)=1:

$\frac{2}{1}=-1-C;\ C=-3;\ \frac{2}{\sqrt{y}}=3-e^x;\ \sqrt{y}=\frac{2}{3-e^x};\ y=\frac{4}{(e^x-3)^2}.$

Ответ: $y=4(e^x-3)^{-2}.$

2) $\frac{dy}{2y+1}=x^{-3}\, dx;\ \frac{1}{2}\int \frac{d(2y+1)}{2y+1}=\int x^{-3}\, dx;\ \frac{1}{2}\ln|2y+1|=\frac{x^{-2}}{-2}+\frac{C}{2};$

$\ln|2y+1|=-x^{-2}+C;\ 2y+1=\pm e^{C-x^{-2}};\ 2y+1=\pm e^C\cdot e^{-x^{-2}};$

$\pm e^C=C_1\not= 0;\ 2y+1=C_1e^{-x^{-2}};\ y=\frac{1}{2}(C_1e^{-x^{-2}}-1);\ C_1\not= 0.$

В процессе решения при делении на (2y+1) было потеряно решение y=-1/2. Оно вписывается в общее решение, если подставить $C_1=0.$

Окончательный ответ: $y=\frac{1}{2}(Ce^{-x^{-2}}-1).$