докажите, что в ортоцентрическом тетраэдре общие перпендикуляры к скрещивающимся ребрам пересекаются в одной точке
помогите пожалуйста!!!
Ответы
Докажем сначала, что если высоты BB1 и CC1 тетраэдра ABCD пересекаются, то точка их пересечения лежит на общем перпендикуляре скрещивающихся прямых AD и BC . Для этого проведём плоскость через прямые BB1 и CC1 , пересекающиеся в точке H . Пусть эта плоскость пересекает прямую AD в точке M . Так как BB1 и CC1 – высоты треугольника BMC , а высоты треугольника пересекаются в одной точке, то MH BC . В то же время, прямая AD перпендикулярна плоскости BMC , т.к. она перпендикулярна двум пересекающимся прямым BB1 и CC1 этой плоскости. Поэтому AD MH . Значит, общий перпендикуляр скрещивающихся прямых BC и AD лежит на прямой MH . Что и требовалось доказать. Поскольку все высоты ортоцентрического тетраэдра пересекаются в одной точке, то по доказанному, точка их пересечения принадлежит общему перпендикуляру каждой пары скрещивающихся рёбер....