Question

30 БАЛЛОВ! ПОМОГИТЕ! Решить тригонометрическое уравнение: $sin^{4}x +cos^{4}x=\frac{1}{\sqrt{2}}sin2x$

Answer 1

$\sin^4 x+2\sin^2 x\cdot\cos^2 x+\cos^4 x-2\sin^2 x\cdot \cos^2 x=\frac{1}{\sqrt{2}}\sin 2x;$

$(\sin^2 x+\cos^2 x)^2-\frac{1}{2}\sin^2 2x=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 2x;$

$\sin^2 2x+\sqrt{2}\sin 2x-2=0;\ \sin 2x=\frac{-\sqrt{2}\pm \sqrt{10}}{2}.$

$-\frac{\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}<-\frac{1+3}{2}<-1$ - не подходит;

докажем, что $\sqrt{10}-\sqrt{2}<2,$ то есть $\sqrt{5}-1<\sqrt{2};\ (\sqrt{5}-1)^2<2;\ 5-2\sqrt{5}+1<2;\ 4<2\sqrt{5};\ 2<\sqrt{5};\ 4<5.$ Это верное неравенство.

$2x=(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}+\pi n;\ x=\frac{(-1)^n}{2}\arcsin\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}+ \frac{\pi n}{2};\ n\in Z$