На плоскости даны 6 точек так, что никакие три из них не лежат
на одной прямой. Каждая пара точек соединена отрезком синего или красного
цвета. Докажите, что среди данных точек можно выбрать такие три, что все
стороны образованного ими треугольника
будут окрашены в один цвет.
даю 20 баллов !!!
Ответы
Объяснение:
6 точек даны так, что никакие три из них не лежат
на одной прямой => любые 3 точки образуют треугольник.
Каждая пара точек соединена отрезком => любая точка является концом пяти отрезков.
Отрезки 2-х цветов: синего или красного =>
для каждой точки верно, что как минимум 3 отрезка будут одного цвета.
Рассмотрим произвольно взятую точку из шести расположенных. Обозначим ее как (1).
Точку (1) с остальными соединяет 5 отрезков (т.к. точек 6, все попарно соединены).
Из 5 отрезков двух цветов будет минимум 3 отрезка одинакового цвета. Доказать можно так: число 5 разбивается на пару натуральных слагаемых только 2 способами 5= 1+4 или 5=2+3, и каждый вариант имеет слагаемое ≥ 3)
Пусть, этот цвет - синий.
Обозначим точки, соединенные отрезками синего цвета как (2), (3) и (4).
Очевидно, что если отрезки (1)-(2), (1)-(3), (1)-(4) - синие, то у треугольников 1-2-3, 1-2-4 и 1-3-4 - уже по 2 синих стороны . Следовательно, третья сторона у каждого из этих трех треугольников (отрезки 2-3, 2-4 и 3-4) должна быть красного цвета, иначе образуется одноцветный треугольник.
Итак - чтобы не было синего треугольника,
отрезки (2)-(3), (2)-(4), (3)-(4) - обязательно красные.
НО! Тогда мы получаем КРАСНЫЙ треугольник 2-3-4!
Мы пришли к противоречию.
Если взять вместо синего - красный цвет - ничего не поменяется.
Следовательно, утверждение, что среди данных точек всегда можно выбрать такие три, что все стороны образованного треугольника будут окрашены в один цвет - верно.
Ч.т.д.
