помогите пожалуйста (Использование дифференциального исчисления функций одной переменной в практических задачах на экстремум)
Помогите пожалуйста
Задача:
Сечение автомобильного тоннеля имеет форму прямоугольника, завершённого полукругом. Периметр сечения 22 м. При какой высоте тоннеля площадь сечения будет наибольшей?
Ответы
Ответ: h=44/(π+4), h≈6,16
Объяснение:Пусть Р-периметр прямоугольника, с крышей полукруга, а - одна сторона прямоугольника, r-радиус полукруга, тогда 2r- вторая сторона прямоугольника
Периметр Р = πr+ 2r + 2a;
a = (P - r(π+2))/2=(22-πr-2r)/2
Sсеч= S(r) = πr²/2 + 2ar = πr²/2 + r·(22-πr-2r)=πr²/2 + 22r-πr²-2r²)
S(r) - зависимость площади сечения от радиуса
S'(r)= πr+22-2πr-4r =22-πr-4r
Если S'(r) = 0, то 22-πr-4r=0
r = 22/(4 + π)
Следовательно при данном радиусе площадь сечения будет наибольшей.
Но при данном радиусе r = 22/(4 + π) высота тоннеля h будет равна
h=a+r
a= (22-r(π+2))/2= (22-r(π+2))/2=(22-22(π+2)/(4 + π)
h=a+r=22/(4 + π) +(22-22(π+2)/(4 + π) =44/(π+4)
Если принять π≈3,14, то h≈44/7,14≈6,16
s(r) - зависимость площади сечения от радиуса
1) Ты составляешь функцию, описывающую этот тоннель. Это будет кривая.
2) Далее исследуешь эту кривую на экстремум. Думаю, ты знаешь как это делать. Производная там все дела.
3) Ну и экстремум у этой функции будет соответствовать максимальной высоте тоннеля.