Question

Существует ли арифметическая прогрессия, в которой a3 = 6, a7 = -2, a10 = -8?​

Answer 1

Ответ:

Да, существует.

Пошаговое объяснение:

Имеем предполагаемую арифметическую прогрессию:

$(a_{n} )$ - арифметическая прогрессия, $a_{3} =6$, $a_{7} =-2$, $a_{10} =-8$.

Любой член арифметической прогрессии $a_{n}$ можно выразить через любой другой. Существует формула:

$a_{n} =a_{k}+d*(n-k)$

Где $a_{n}, a_{k}$ - члены прогрессии, $d$ - разность прогрессии, то есть то значение, на которое различаются два ближайших ее члена, $n,k$ - индексы первого и второго чисел прогрессии.

Теперь подставляем вместо $n$ и $k$ данные в условии значения, где $a_{n} = a_{7}$, а $a_{k} = a_{3}$. Получаем:

$a_{7} =a_{3}+d*(7-3)$

Найдем разность прогрессии $d$:

$a_{7}-a_{3}=d*(7-3)\\a_{7}-a_{3}=4*d\\d=\frac{a_{7}-a_{3}}{4}=\frac{(-2)-6}{4}=-2.$

Аналогичные действия проделаем для 7 и 10 члена этой прогрессии:

$a_{10} =a_{7}+d*(10-7)$

В данном случае мы также находим разность прогрессии $d$:

$a_{10} -a_{7}=d*(10-7)\\a_{10} -a_{7}=3d\\d=\frac{a_{10} -a_{7}}{3}=\frac{-8-(-2)}{3}=\frac{-8+2}{3}=\frac{-6}{3}=-2.$

Для наиболее точного ответа проделаем это для $a_{3} =6$ и $a_{10} =-8$:

$a_{10} =a_{3}+d*(10-3)$

$a_{10} -a_{3}=d*(10-3)\\a_{10} -a_{3}=7d\\d=\frac{a_{10} -a_{3}}{7}=\frac{-8-6}{7}=\frac{-14}{7}=-2.$

Так как разность прогрессии во всех случаях получилась одинаковая. то такая арифметическая прогрессия существует. И это убывающая арифметическая прогрессия, так как её разность отрицательная.