Question

Помогите пожалуйста !!!!

Answer 1

Ответ:

$y=f_{max}=3905$ при $x=324$

Объяснение:

Для того, чтобы найти экстремумы, то есть, наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке [286;377], следует взять производную от функции и приравнять ее к нулю, то есть решить уравнение:

$\frac{d}{dx} f(x)=0$

Находим производную от функции:

$y^{'}= -\frac{4}{3} *x*\sqrt{x} +36x+17$

Разберемся с первой частью данной функции $-\frac{4}{3} *x*\sqrt{x}$, потому что она представляет из себя наибольшую сложность. Возведем x в первой степени и корень от x в единую степень, тем самым упростив наше выражение. Мы знаем, что корень от x это $x^{\frac{1}{2}}$, тогда в сумме получаем:

$-\frac{4}{3} *x^{1+\frac{1}{2} } =-\frac{4}{3} *x^{\frac{3}{2} }$

Теперь находим отсюда производную. Так как $(c*f(x))' = c*f(x)'$, то полученную производную домножим на $-\frac{4}{3}$, получаем:$-\frac{4}{3} (x^{\frac{3}{2}})^{'}$

$(x^{\frac{3}{2}})^{'}=\frac{3}{2}*x^{\frac{3}{2}-1}*x^{'}=\frac{3}{2}*x^{\frac{3}{2}-1}$

Так как производная $x^{'} =1$. Теперь упростим:

$\frac{3}{2}*x^{\frac{3}{2}-1}=\frac{3}{2}*x^{\frac{1}{2} } =\frac{3}{2}*\sqrt{x}$

Теперь домножим на $-\frac{4}{3}$:

$\frac{3}{2}*\sqrt{x} *(-\frac{4}{3})=-\frac{12}{6} *\sqrt{x}=-2*\sqrt{x}$

Получили производную от первой части функции, далее найдем производную от $(36x)^{'} =36$, а производная от числа будет равна 0.

Возвращаемся в исходное уравнение и полученную производную приравниваем к нулю:

$-2\sqrt{x} +36=0$

Решим его:

$\sqrt{x} =\frac{36}{2} \\\sqrt{x} =18\\x=18^{2} \\x=324$

Если в полученной точке выполняется условие:

$f(x)'=0\\(f(x)')^{'}<0$

То полученная точка будет наибольшим значением функции.

Если же выполняется условие:

$f(x)'=0\\(f(x)')^{'}>0$

То полученная точка будет наименьшим значением функции.

Теперь вычисляем значения функции на концах интервала и на полученном значении x. Начнем с 286:

$y_{1} =f(286)= -\frac{4}{3} *286*\sqrt{286} +36*286+17 =3864$

Далее, от полученной нами точки x=324:

$y_{2} =f(324)= -\frac{4}{3} *324*\sqrt{324} +36*324+17 =3905$

И последним будет 377:

$y_{3} = f(377)= -\frac{4}{3} *377*\sqrt{377} +36*377+17 =3828$

Получили, что наибольшее значение данная функция принимает при $x=324$