Question

Вычислить определённый интеграл

Answer 1

Ответ:

2ln3

Пошаговое объяснение:

$\int\limits^6_2 {\frac{\sqrt{x-2} }{1+\sqrt{x-2} } } \, dx = \begin{Vmatrix}\sqrt{x-2}=t\\x-2=t^2\\dx=2tdt \end{Vmatrix}=\int\limits^6_2 {\frac{2t }{1+t } } \,tdt=2\int\limits^6_2 {\frac{t^2 }{1+t } } \,dt=2\int\limits^6_2 {\frac{(t^2-1) +1}{1+t } } \,dt=2\int\limits^6_2 ({\frac{t^2-1 }{t+1 }+\frac{1}{1+t} } )\,dt=\int\limits^6_2 ({\frac{(t-1)(t+1)}{t+1} +\frac{1}{1+t} }) \, dx= 2\int\limits^6_2 {(t-1+\frac{1}{1+t} } )\,dt=$

$=2(\frac{t^2}{2} -t+\ln|1+t|)\bigg|_2^6=2(\frac{x-2}{2} -\sqrt{x-2} +\ln{|1+\sqrt{x-2}| })\bigg|_2^6=2(\frac{6-2}{2}-\sqrt{6-2}+\ln{|1+\sqrt{6-2} |}-(\frac{2-2}{2} -\sqrt{2-2}+ \ln{|1+\sqrt{2-2} |}))=2(2-2+\ln{3}-0+0-\ln{1})=2(\ln3-\ln1)=2\ln3$