Question

Помогите пожалуйста задание на фото

Answer 1

Ответ: $\frac{3\pi }{8}$

Пошаговое объяснение:

cos 2x = 2cos²x – 1

Значит cos²x = $\frac{1}{2}$(cos2x + 1)

$\int\limits^\frac{\pi}{4} _0 cos^{2}x \ dx = \int\limits^\frac{\pi}{4} _0 \frac{1}{2} (cos2x+1) \ dx = \frac{1}{2} \int\limits^\frac{\pi}{4} _0 (cos2x+1) \ dx = \frac{1}{2} (\int\limits^\frac{\pi}{4} _0 cos2x\ dx+\int\limits^\frac{\pi}{4} _0 \ dx)$

Ворой интеграл =  длине отрезка, по кторому он считается

$\int\limits^\frac{\pi}{4} _0 \ dx = \frac{\pi}{4}$

В первом интеграле делаем замену y=2x. Тогда x=y/2

Нижняя граница интегрирования x=0, значит при переходе к переменой y нижняя граница = 2*0=0.

Верхняя граница интегрирования x=$\frac{\pi}{4}$, значит при переходе к переменой y нижняя граница = $2* \frac{\pi}{4}$=$\frac{\pi}{2}$

dx=$\frac{1}{2}$ dy

$\int\limits^\frac{\pi}{4} _0 cos2x\ dx=\int\limits^\frac{\pi}{2} _0 cosy\ \frac{1}{2} dy=\frac{1}{2}\int\limits^\frac{\pi}{2} _0 cosy\ dy = \frac{1}{2}(sin\frac{\pi}{2}-sin 0 )=\frac{\pi}{2}(1-0)=\frac{\pi}{2}$

Суммируем два полученных значения:

$\int\limits^\frac{\pi}{4} _0 cos^{2}x \ dx = \frac{1}{2} (\int\limits^\frac{\pi}{4} _0 cos2x\ dx+\int\limits^\frac{\pi}{4} _0 \ dx) = \frac{1}{2} (\frac{\pi }{2} +\frac{\pi }{4} ) = \frac{1}{2} (\frac{2\pi }{4} +\frac{\pi }{4} ) = \frac{1}{2} (\frac{2\pi +\pi}{4} ) = \\=\frac{1}{2} (\frac{3\pi }{4} ) = \frac{3\pi }{8}$