Question

Найти решение задачи Коши для линейного обыкновенного

дифференциального уравнения первого порядка. Помогите, пожалуйста. ​

Answer 1

Ответ:

Замена:

$y = uv \\ y' = u'v + v'u \\ \\ u'v + v'u - \frac{uv}{x ln(x) } = x ln(x) \\ u'v + u( v'- \frac{v}{ xln(x) } ) = x ln(x) \\ \\ 1) \frac{dv}{dx} = \frac{v}{x ln(x) } \\ \int\limits \frac{dv}{v} = \int\limits \frac{dx}{x ln(x) } \\ ln( |v| ) = \int\limits \frac{d( ln(x)) }{ ln(x) } \\ ln( |v| ) = ln( ln(x) ) \\ v = ln(x) \\ \\ 2)u'v = x ln(x) \\ \frac{du}{dx} \times ln(x) = x ln(x) \\ u = \int\limits \: x dx = \frac{ {x}^{2} }{2} + C \\ \\ y = ln(x) \times ( \frac{ {x}^{2} }{2} + C) \\ y = \frac{ {x}^{2} }{2} ln(x) + C ln(x)$

общее решение

$y(e) = \frac{ {e}^{2} }{2}$

$\frac{ {e}^{2} }{2} = \frac{ {e}^{2} }{2} ln(e) + Cln(e) \\ C ln(e) = \frac{ {e}^{2} }{2} - \frac{ {e}^{2} }{2} \times 1 \\ C = 0$

$y = \frac{ {x}^{2} }{2} ln( x)$

частное решение