Question

при каких значениях m функция y = -5x^2+mx-3 имеет нули? ​

Answer 1

Для начала посмотрим на функцию. Она квадратичная. В данном случае проще всего представить график этой функции. Старший коэффициент равен -5, а потому ветви параболы, являющейся графиком функции, будут направлены вниз. Нули функции - это те значения аргумента, при которых функция обращается в ноль. У параболы с направленными вниз ветвями может быть три варианта расположения относительно оси Ox.

1) Весь график лежит ниже оси абсцисс, в таком случае функция не будет иметь нулей. Нам это не подходит.

2) Вершина параболы лежит на оси абсцисс, в таком случае функция будет иметь один ноль - саму вершину.

3) Вершина параболы лежит выше оси абсцисс, в таком случае функция будет иметь два нуля.

Итак, нам подходят два варианта - второй и третий. Решение задания сводится к решению неравенства. Отправной точкой будем считать второй вариант - сам он удовлетворяет условию, как и третий, а вот первый нам не подходит.

Формула абсциссы вершины параболы: $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ . Смотрим на нашу функцию: $y = -5x^2 + mx - 3$ . Учитывая коэффициенты, абсциссой вершины параболы будет являться: $x_0 = -\dfrac{m}{2\cdot (-5)} = \dfrac{-m}{-10} = \boxed{\bf{\dfrac{m}{10}}}$ . Ординатой вершины параболы является значение функции при подстановке туда x, являющегося абсциссой вершины. Подставляем полученное значение в функцию: $y_0 = -5x_0 + mx_0 - 3 = -5\cdot\left(\dfrac{m}{10}\right)^2 + m\cdot\dfrac{m}{10} - 3 = -5\cdot\dfrac{m^2}{100} + \dfrac{m^2}{10} - 3 =\\\\\\= \boxed{-\dfrac{m^2}{20} + \dfrac{m^2}{10} - 3}\ .$

Именно это значение и является определяющим. Если ордината вершины параболы равна нулю, то это соответствует второму варианту. Если она больше нуля, то третьему. Если меньше нуля, то первому. Как я уже говорила, подходят второй и третий, то есть, больше или равно нулю. Поэтому конечное неравенство, которое и даст ответ на вопрос задачи:

$-\dfrac{m^2}{20} + \dfrac{m^2}{10} - 3 \geqslant 0\ \ \ \ \ \ \Big| \cdot(-1)\\\\\\\dfrac{m^2}{20} - \dfrac{m^2}{10} + 3 \leqslant 0\\\\\\\dfrac{m^2 - 2m^2 + 60}{20} \leqslant 0\\\\\\\dfrac{60 - m^2}{20} \leqslant 0$

В знаменателе постоянное число, поэтому знак дроби будет зависеть только от числителя.

$60 - m^2 \leqslant 0\\\left(\sqrt{60} - m\right)\left(\sqrt{60} + m\right) \leqslant 0\\\left(\sqrt{4\cdot 15} - m\right)\left(\sqrt{4\cdot 15} + m\right)\leqslant 0\\\left(2\sqrt{15} - m\right)\left(2\sqrt{15} + m\right)\leqslant 0$

Разложили на множители, теперь неравенство можно решить методом интервалов.

Нули: $-2\sqrt{15}\ ;\ 2\sqrt{15}$ .

            -                          +                            -

-----------------------$\bullet$-----------------------$\bullet$-----------------------> m

                     $-2\sqrt{15}$                   $2\sqrt{15}$

Так как в последней строке неравенства стоит знак "меньше или равно", то решениями являются промежутки со знаком "минус". То есть, $\bf{m \leqslant -2\sqrt{15}$  и  $\bf{m\geqslant 2\sqrt{15}}$ . Это и есть ответ к нашему заданию.

Ответ: функция будет иметь нули при  $m \in \left(-\infty;\ -2\sqrt{15}\ \right]\cup \left[2\sqrt{15}\ ;+\infty\right)$ .