Question

Решить уравнение. Ответ x = 1, но обосновать ни аналитически, ни графически у меня не вышло. Прошу помочь
$\frac{ {x}^{2} + 8x - 8}{2 {x}^{2} + 3x - 4} + \frac{2 {x}^{2} + 3x - 4}{{x}^{2} + 8x - 8} = \\ \sqrt{3 + 2x - {x}^{2} }$
​

Answer 1

Ответ:

х=1

Объяснение:

обозначим образно в левой части уравнения дроби а и 1/а соответственно.

используем свойство неравенства коши:

среднее арифметическое ≥ среднего геометрического, →

среднее арифметическое:

(а + 1/а) /2

среднее геометрическое:

²√(а*(1/а)) = √(а/а) = √1 =1

то есть (а + 1/а)/2≥1

или а + 1/а≥2

учитывая введённые обозначения получаем, что левая часть исходного уравнения ≥2,

соответственно правая часть исходного уравнения также должна быть ≥2:

√(3+2х-х²)≥2

или

3+2х-х²≥4

0≥4-3-2х+х²

х²-2х+1≤0

(х-1)²≤0

так как (х-1)²≥0 при любом х, то (х-1)²≤0 имеет решение лишь при х-1=0 или х=1

подставив х в исходное уравнение убеждаемся, что данное решение принадлежит одз и действительно является решением (если бы не подошло, то уравнение не имело бы решений)