Question

1. |x|+|x+4|≤12
2. |x+5|-|x-3|>10

Answer 1

Стандартный способ с рассмотрением различных случаев раскрытия модулей давно надоел. Есть очевидный, использующий  геометрический смысл модуля (модуль разности чисел равен расстоянию между ними,  поэтому |x| - это расстояние от x до нуля, |x+4| - расстояние от x до минус четырех.  Ясно что сумма расстояний равна 12, когда x = 4 и x = - 8, а меньше 12 - когда мы находимся слева от 4 и справа от - 8. Во второй задаче подобные рассуждения приводят к тому, что решений нет.)

Но мы пойдем другим путем, который мне подсказал Голубев В.И. своими статьями в газете Математика, а затем своей книгой "Решение сложных и нестандартных задач по математике". Каждый желающий может посмотреть эту книгу - она есть в электронном виде, я же здесь буду применять метод без объяснений.

1) $|x|+|x+4|\le 12\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c} x+(x+4)\le 12\\ x-(x+4)\le 12\\ -x+(x+4)\le 12\\ -x-(x+4)\le 12\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c} x\le 4\\ -4\le 12\\ 4\le 12\\ x\ge -8\end{array}\right.\Leftrightarrow x\in [-8;4].$  

2) $|x-3|+10<|x+5|\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}x-3+10<|x+5|\\ -x+3+10<|x+5| \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}|x+5|>x+7\\ |x+5|>-x+13 \end{array}\right.\Leftrightarrow$

$\left\{ \begin{array}{c} \left [ {{x+5>x+7} \atop {-x-5>x+7}}\\ \left [ {{x+5>-x+13} \atop {-x-5>-x+13}} \right. \right. \end{array}\right. \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{c} \left [ {{5>7} \atop {x<-6}}\\ \left [ {{x>4} \atop {-5>13}} \right. \right. \end{array}\right. \Leftrightarrow x\in \emptyset$