Question

Найдите сумму корней уравнения
sin⁸x + cos⁹x = 1
на промежутке [ 0 ; 2π ]​

Answer 1

sin⁸x = (sin²x)⁴ = (1 - cos²x)⁴ ⇒ исходное уравнение можно переписать

в виде: (1 - cos²x)⁴ + cos⁹x = 1. Let cosx = t, |t| ≤ 1, then (1 - t²)⁴ + t⁹ = 1 ⇒

1 - 4t² + 6t⁴ - 4t⁶ + t⁸ + t⁹ = 1 ⇒ - 4t² + 6t⁴ - 4t⁶ + t⁸ + t⁹ = 0 ⇒

t²·(t⁷ + t⁶ - 4t⁴ + 6t² - 4) = 0 ⇒ t = 0 or t⁷ + t⁶ - 4t⁴ + 6t² - 4 = 0,

t⁷ + t⁶ - 4t⁴ + 6t² - 4 = (t - 1)·(t⁶ + 2t⁵ + 2t⁴ - 2t³ - 2t² + 4t + 4) = 0 ⇒

t - 1 = 0 or t⁶ + 2t⁵ + 2t⁴ - 2t³ - 2t² + 4t + 4 = 0.

График функции у(t) = t⁶ + 2t⁵ + 2t⁴ - 2t³ - 2t² + 4t + 4 - лежит выше нуля

⇒ t⁶ + 2t⁵ + 2t⁴ - 2t³ - 2t² + 4t + 4 = 0 - не имеет вещественных корней

⇒ t₁ = 0 и t₂ = 1 - корни уравнения (1 - t²)⁴ + t⁹ = 1 ⇒ cosx = 0 или cosx = 1,

cosx = 0 ⇒ х = π/2 + πk, k - целое; cosx = 1 ⇒ х = 2πn, n - целое.

Отсеиваем корни из условия принадлежности отрезку [0 ; 2π]​:

х₁ = 0, х₂ = π/2, х₃ = 3π/2, х₄ = 2π. ∑корней = 0 + π/2 + 3π/2 + 2π = 4π