Question

Задание:
Найти ортогональное преобразование приводящие следующую квадратичную форму к каноническом виду, написать этот канонических вид, сделать проверку.
Помогите пожалуйста,кто знает как решать, никак не могу решить, может кто-то сможет меня выручить(
Плохо разбираюсь в этой теме​

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

Запишем матрицу форми A

( 1. -2. 0 )

(-2. 2. -2)

( 0. -2. 3)

Найдем собственние числа а

| 1-а -2. 0 |

|-2. 2-а -2| =0

| 0. -2. 3-а|

(1-а)(2-а)(3-а)-4(3-а)-4(1-а)=(1-а)(2-а)(3-а)-16+8а= (1-а)(2-а)(3-а)-8(2-а)=(2-а)((1-а)(3-а)-8)=0

2-а=0 или 3+а^2-4а-8=0

а=2 или а^2-4а-5=0 → а=2±3

Собственние числа 2, 5, -1

Канонический вид

2у1^2+5у2^2-у3^2=0

a=2 решим систему

-x -2y =0.

-2x -2z =0.

-2y+z=0.

Если y=1, x=-2, z=2

1+4+4=9, √9=3 → вектор столбец е1=(-2/3. 1/3. 2/3)

a=5

-4x -2y=0.

-2x -3y-2z=0

-2y -2z=0

x=1, y=-2, z=2

1+4+4=9

e2=(1/3. -2/3. 2/3)

a=-1

2x -2y=0

-2x+ 3y -2z=0

-2y +4z=0

x=2, y=2, z=1

4+4+1=9. → e3=(2/3. 2/3. 1/3)

P=

(-2/3. 1/3 2/3)

(1/3. -2/3 2/3)

(2/3. 2/3 1/3)

х1=1/3(-2у1+у2+2у3)

х2=1/3(у1-2у2+2у3)

х3=1/3(2у1+2у2+у3)

Проверку можно сделать Р'АР или подставив х1, х2, х3 в исходное виражение

Р'-транспонированная матрица Р