Question

Вычислить (√(3)-i)^60

Answer 1

$(\sqrt{3}-i)^{60}$

Для возведения комплексного числа в степень удобно использовать формулу Муавра:

$(\rho(\cos\varphi+i\sin\varphi))^n=\rho^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi)$

Соответственно представим число в тригонометрической форме:

$|z|=\sqrt{(\sqrt{3} )^2+(-1)^2} =2$

$\arg z=\mathrm{arctg}\dfrac{-1}{\sqrt{3} } =-\dfrac{\pi}{6}$

Тогда:

$\sqrt{3} -i=2\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{6} \right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{6} \right)\right)$

Получаем выражение:

$\left(2\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{6} \right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{6} \right)\right)\right)^{60}=2^{60}\left(\cos\left(-\dfrac{60\pi}{6} \right)+i\sin\left(-\dfrac{60\pi}{6} \right)\right)=$

$=2^{60}\left(\cos\left(-10\pi \right)+i\sin\left(-10\pi\right)\right)=2^{60}\left(\cos0+i\sin0\right)=2^{60}\left(1+i\cdot0\right)=2^{60}$

Итак:

$\boxed{(\sqrt{3}-i)^{60}= 2^{60}}$