Question

Укажите уравнение, корни которого обратны корням уравнения x^2+px+q=0
​

Answer 1

Пусть $x_1$ и $x_2$ - корни уравнения $x^2+px+q=0$.

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

То есть, выполняются соотношения:

$\left \{ {{x_1+x_2=-p} \atop {x_1x_2=q}} \right.$

Составим новое уравнение вида $x^2+p_1x+q_1=0$, которое имеет корни $\dfrac{1}{x_1}$ и $\dfrac{1}{x_2}$.

Найдем их сумму и произведение:

$\dfrac{1}{x_1} +\dfrac{1}{x_2} =\dfrac{x_2+x_1}{x_1x_2} =\dfrac{-p}{q} =-\dfrac{p}{q}$

$\dfrac{1}{x_1} \cdot\dfrac{1}{x_2} =\dfrac{1}{x_1x_2} =\dfrac{1}{q}$

Получим равенства:

$-p_1=-\dfrac{p}{q} \Rightarrow p_1=\dfrac{p}{q}$

$q_1=\dfrac{1}{q}$

Уравнение имеет вид:

$x^2+\dfrac{p}{q} x+\dfrac{1}{q} =0$

Или, домножив на q:

$\boxed{qx^2+px+1=0}$

Answer 2

Ответ: см фото.

Объяснение: