Question

Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину графіків рівнянь:

1) 4x-y=7 i 3x + 2y = 8;

2) x-2y =-2 i 3x-4y=-2

Answer 1

Ответ:

$1)\ \ \left\{\begin{array}{l}4x-y=7\ |\cdot 2\\3x+2y=8\end{array}\right\ \oplus \ \left\{\begin{array}{l}y=4x-7\\11x=22\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}y=1\\x=2\end{array}\right\ \ \ \ \ (\ 2\ ;\ 1\ )$

$2)\ \ \left\{\begin{array}{l}x-2y=-2\ |\cdot (-3)\\3x-4y=-2\end{array}\right\ \oplus \ \left\{\begin{array}{l}x=2y-2\\2y=4\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}x=2\\y=2\end{array}\right\ \ \ \ \ (\ 2\ ;\ 2\ )$

Answer 2

Ответ:

Для первой пары уравнений координаты пересечения: $(2;1)$, для второй пары: $(2;2)$.

Объяснение:

Нам требуется найти координаты точек пересечения графиков уравнений, без построения самих графиков. Для этого надо объединить два уравнения, которыми заданы графики, и объединить их в систему уравнений:

$\left \{ {{4x-y=7} \atop {3x+2y=8}} \right.$

Данную систему уравнений проще решить методом подстановки одной переменной в другое уравнение. Из первого уравнения выражаем переменную $y$, перенеся её в правую сторону уравнения, а 7 переносим в левую сторону, меняя знак на противоположный:

$4x-y=7\\4x-7=y$

Теперь подставляем значение $y$ во второе уравнение:

$3x+2*(4x-7)=8\\3x+8x-14=8\\3x+8x=8+14\\11x=22\\x=\frac{22}{11}\\x=2$

Теперь находим $y$, подставляя значение $x$ обратно в первое уравнение системы:

$y=4*2-7\\y=8-7\\y=1$

Получаем, что координата точек пересечения этих двух графиков является $(2;1)$.

Таким же способом объединяем другие уравнения в систему уравнений:

$\left \{ {{x-2y=-2} \atop {3x-4y=-2}} \right.$

В данном случае проще выразить $x$ из первого уравнения и подставить данное значение во второе уравнение:

$x-2y=-2\\x=-2+2y\\x=2y-2$

Теперь подставляем данное значение во второе уравнение системы, перенося неизвестные значения в левую сторону, а известные в правую:

$3*(2y-2)-4y=-2\\6y-6-4y=-2\\6y-4y=-2+6\\2y=4\\y=2$

Возвращаемся в уравнение для $x$, подставляя значение $y$, получаем:

$x=2*2-2\\x=4-2\\x=2$

Получили, что координата точек пересечения данных графиков является пара $(2;2)$.