Question

помогите с системой тригонометрических уравнений
sinx•cosy = -3/4
cosx•siny = 1/4

Answer 1

$\left \{ {{sinxcosy=-\frac{3}{4} } \atop {cosxsiny=\frac{1}{4} }} \right.$  

Сложим и вычтем оба уравнения и получим равносильную систему:

$\left \{ {{sinxcosy+cosxsiny=-\frac{1}{2} } \atop {sinxcosy-cosxsiny=-1}} \right.$  ⇔  $\left \{ {{sin(x+y)=-\frac{1}{2} } \atop {sin(x-y)=-1}} \right.$ ⇔ $\left \{ {{x+y=(-1)^n^+^1\frac{\pi }{6}+\pi n } \atop {x-y= -\frac{\pi }{2}+2\pi k }} \right.$  ; n,k ∈ Z

Сложим уравнения и найдем x

$2x=(-1)^n^+^1\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{2} +\pi n+2\pi k\\x=(-1)^n^+^1\frac{\pi }{12}-\frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{2}(n+2k)$  ; n,k ∈ Z

Теперь выразим y

$x-y=-\frac{\pi }{2} +2\pi k\\y= \frac{\pi}{2}-2\pi k+x\\ y= \frac{\pi}{2} -2\pi k+(-1)^n^+^1\frac{\pi}{12}-\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2} + \pi k\\ y= (-1)^n^+^1\frac{\pi }{12}+\frac{\pi }{4}+ \pi (\frac{n}{2}+k)$  ; n,k ∈ Z

Ответ: $((-1)^n^+^1\frac{\pi }{12}-\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{2}(n+2k) ;(-1)^n^+^1\frac{\pi }{12} +\frac{\pi }{4}+\pi (\frac{n}{2}+k) )$  n,k ∈ Z