Question

Задано линейное неоднородное дифференциальное уравнение
второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти частное решение,
которое удовлетворяет приведенным начальным условиям.

Answer 1

Ответ:

$y'' - 2y '- 8y = 16 {x}^{2} + 2$

1.

$y'' - 2y' - 8y = 0 \\ \\ y = {e}^{kx} \\ \\ k {}^{2} - 2k - 8 = 0\\ D= 4 + 32 = 36 \\ k_1 = \frac{2 + 6}{2} = 4 \\ k_2 = - 2 \\ \\ y = C_1 {e}^{4x} + C_2 {e}^{ - 2x}$

2.

$y = ax {}^{2} + bx + c$

$y' = 2ax + b$

$y'' = 2a$

В НЛДУ:

$2a - 4ax - 2b - 8 {ax}^{2} - 8bx - 8c = 16 {x}^{2} + 2 \\ \\ - 8a = 16 \\ - 4a - 8b = 0 \\ 2a - 2b - 8c = 2 \\ \\ a = - 2 \\ b = 1 \\ c = - 1\\ \\ y = - 2 {x}^{2} + x - 1$

общее решение:

$y = C_1 {e}^{4x} + C_2 {e}^{ - 2x} - 2 {x}^{2} + x - 1$

$y(0) = 0,y'(0) = 5$

$y = 4C_1 {e}^{4x} - 2 C_2 {e}^{ - 2x} - 4x + 1$

$0 = C_1 + C_2 - 1 \\ 5 = 4C_1 - 2C_2 + 1 \\ \\ C_1 = 1 - C_2 \\ 4 - 4C2 - 2C_2 = 4 \\ \\ - 6C_2 = 0 \\ C_2 = 0 \\ \\ C_1 = 1$

$y = {e}^{4x} - 2 {x}^{2} + x - 1$

- частное решение