Ответы
Ответ:
Объяснение:
A) y' + xy = x^2 + 1
B) 2xydx - (x^2 - 4y^2)dy = 0
2xy = (x^2 - 4y^2)*dy/dx
2xy = (x^2 - 4y^2)*y'
Это уравнения 1 порядка.
Чтобы понять, однородные они или нет, нужно х и у заменить на λx и λy.
А y' оставить, как есть.
Если в результате мы сможем сократить все λ и вернёмся к исходному уравнению, то оно однородное.
A) y' + λx*λy = (λx)^2 + 1
y' + λ^2*xy = λ^2*x^2 + 1
Сократить не удается, оно неоднородное.
Решить его можно заменой:
y = u*v; y' = u'*v + u*v'
Вернёмся к исходному уравнению:
y' + xy = x^2 + 1
Делаем замену:
u'*v + u*v' + x*u*v = x^2 + 1
u'*v + u*(v' + x*v) = x^2 + 1
Сначала приравняем скобку к 0:
v' + v*x = 0
dv/dx = - v*x
dv/v = -x dx
ln |v| = -x^2/2
v = e^(-x^2/2)
Теперь подставляем это в уравнение:
u'*e^(-x^2/2) + u*0 = x^2 + 1
u' = (x^2 + 1)*e^(x^2/2)
Решение этого уравнения:
u = x*e^(x^2/2) + C
И подставляем найденные u и v обратно в функцию:
Ответ: y = u*v = (x*e^(x^2/2) + C)*e^(-x^2/2) = x + C*e^(-x^2/2)
B) 2λx*λy = ((λx)^2 - 4(λy)^2)*y'
2λ^2*xy = (λ^2*x^2 - 4λ^2*y^2)*y'
2λ^2*xy = λ^2*(x^2 - 4y^2)*y'
Сокращаем λ^2
2xy = (x^2 - 4y^2)*y'
Получили исходное уравнение, значит, оно однородное.
Его можно решить другой заменой:
y = u*x; y' = u'*x + u; y^2 = u^2*x^2
Вернёмся к исходному уравнению:
2xy = (x^2 - 4y^2)*y'
Разделим всё уравнение на x^2:
2y/x = (1 - 4y^2/x^2)*y'
Делаем замену:
2u = (1 - 4u^2)*(u'*x + u)
u'*x + u = 2u/(1 - 4u^2)
u'*x = 2u/(1 - 4u^2) - u = (2u - u + 4u^3)/(1 - 4u^2)
x*du/dx = (4u^3 + u)/(1 - 4u^2)
(1 - 4u^2)/(4u^3 + u) du = dx/x
Получили уравнение с разделенными переменными.
Дальнейшее решение смотрите на рисунках.
