Question

методом математической индукции докажите что при любом натуральном n выражение 7^n-1 делится на 6​

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Обозначим: А(n)=7ⁿ-1.

Если n=1, то А(1)=7¹-1=7-1=6.      ⇒    делится на 6.

Пусть А(k) делится на 6.

Докажем,  что А(k+1) делится на 6,  то есть справедливость утверждения задачи при n=k.

$A(k+1)=7^{k+1}-1=7*7^k-1=7*7^k-7+6=7*(7^k-1)+6=7*A(k)+6.$

Последнее число делится на 6, так как представляет собой сумму двух целых чисел, делящихся на 6. Следовательно, 7ⁿ-1 делится на 6 при любом натуральном n.

Answer 2

1) Проверим истинность утверждения при n=1:

7^1 – 1 = 7 – 1 = 6 – делится на 6, утверждение истинно.

2) Предположим истинность утверждения при n=k и докажем его истинность при n=k+1:

7^(k + 1) – 1 = 7^k · 7 – 1 = 7^k · 7 – 7 + 7 – 1 = 7 · (7^k – 1) + 7 – 1 = 7 · (7^k – 1) + 6

Первое слагаемое 7 · (7^k – 1) делится на 6, поскольку мы предположили верность утверждения при n=k.

Второе слагаемое 6 тоже очевидно делится на 6.

Следовательно, вся сумма [7 · (7^k – 1) + 6] делится на 6, что и требовалось доказать.