Question

Помогите очень нужно, пплиииз))

Answer 1

Ответ:

1.

a

$\int\limits \frac{ {x}^{2} \sqrt{x} + {x}^{ - 1} - \sqrt{x} }{ {x}^{ \frac{3}{2} } } dx = \int\limits( {x}^{ \frac{5}{2} - \frac{3}{2} } + {x}^{ - 1 - \frac{3}{2} } - {x}^{ \frac{1}{2} - \frac{3}{2} } )dx = \\ = \int\limits( {x}^{ 1 } + {x}^{ - \frac{5}{2} } - {x}^{ - 2} )dx = \frac{ {x}^{2} }{2} + \frac{ {x}^{ - \frac{3}{2} } }{( - \frac{3}{2}) } - \frac{ {x}^{ - 1} }{( - 1)} + C = \\ = \frac{ {x}^{2} }{2} - \frac{2}{3x \sqrt{x} } + \frac{1}{x} + C$

б

$\int\limits \frac{ {x}^{2} - 1 }{ {x}^{4} - {x}^{3} } dx = \int\limits \frac{ {x}^{2} - 1}{ {x}^{3}(x - 1) } dx = \int\limits \frac{x + 1}{ {x}^{3} } dx = \\ = \int\limits( {x}^{ - 2} + {x}^{ - 3} )dx = \frac{ {x}^{ - 1} }{( - 1)} + \frac{ {x}^{ - 2} }{( - 2)} + C = \\ = - \frac{1}{x} - \frac{1}{2 {x}^{2} } + C$

в

$\int\limits \frac{7dx}{ 1 - \cos {}^{2} (x) } = \int\limits \frac{7dx}{ \sin {}^{2} (x) } = - 7ctgx + C$

2.

а

$\int\limits2 \cos(2x) dx = \int\limits \cos(2x) d(2x) = \sin(2x) + C$

б

$\int\limits \frac{ {x}^{3} }{ {x}^{8} + 1 } dx = \int\limits \frac{ {x}^{3} }{ {( {x}^{4}) }^{2} + 1 } dx = \\ = \frac{1}{4} \int\limits \frac{4 {x}^{3}dx }{ {x}^{8} + 1 } = \frac{1}{4} \int\limits \frac{d( {x}^{4} )}{ {( {x}^{4}) }^{2} + 1} = \\ = \frac{1}{4} arctg( {x}^{4}) + C$

3.

а

$\int\limits {e}^{ - x} \sin(3x) dx \\ \\ \\ u = \sin(3x) \: \: \: du = 3 \cos(3x) \\ dv = e {}^{ - x} dx \: \: \: \: v = - {e}^{ - x} \\ \\ - {e}^{ - x} \sin(3x) + 3\int\limits {e}^{ - x} \cos(3x) dx \\ \\ u = \cos(3x) \: \: \: \: du = - 3 \sin(3x) \\ dv = e {}^{ - x} dx \: \: \: \: v = - {e}^{ - x} \\ \\ \\ - {e}^{ - x} \sin(3x) + 3( - {e}^{ - x} \cos(3x) - 3\int\limits {e}^{ - x} \sin(3x) dx) = \\ = - {e}^{ - x} \sin(3x) - 3 {e}^{ - x} \cos(3x) - 9\int\limits {e}^{ - x} \sin(3x) dx$

Получили исходный интеграл

Пусть

$\int\limits {e}^{ - x} \sin(3x)dx = I$

тогда

$I= - {e}^{ - x} \sin(3x) - 3 {e}^{ - x} \cos(3x) - 9I \\10 I= - {e}^{ - x} ( \sin(3x) + \cos(3x)) \\ I= - \frac{ {e}^{ - x} }{10}( \sin(3x) + 3 \cos(3x))$

Ответ:

$\int\limits {e}^{ - x} \sin(3x) dx = - \frac{ {e}^{ - x} }{10}( \sin(3x) + 3\cos(3x) )+C$

б

$\int\limits(5x + 1) ln(x) dx \\ \\ \\ u = ln(x) \: \: \: \: du = \frac{dx}{x} \\ dv = (5x + 1)dx \: \: \: \: v = \frac{5 {x}^{2} }{2} + x \\ \\ ( \frac{5 {x}^{2} }{2} + x) ln(x) - \int\limits \frac{1}{x} ( \frac{5 {x}^{2} }{2} + x)dx = \\ = ( \frac{5 {x}^{2} }{2} + x) ln(x) -\int\limits( \frac{5x}{2} + 1)dx = \\ = (\frac{5 {x}^{2} }{2} + x) ln(x) - \frac{5 {x}^{2} }{4} - x + C$