Question

а=2i+j и b=-2j+2k на основание векторов построен параллелограмм. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Нужно что бы было всё подробно расписано, что откуда берется

Answer 1

Ответ:

Если построить параллелограмм на двух векторах, то одна диагональ - это вектор, являющийся суммой двух векторов, a вторая диагональ - это  вектор, являющийся разностью двух векторов.

$\vec{a}=2\vec{i}+\vec{j}\ \ ,\ \ \ \vec{b}=-2\vec{j}+2\vec{k}\ \ \Rightarrow \ \ \ \vec{a}=(2;1;0)\ ,\ \ \vec{b}=(0;-2;2)\\\\\vec{a}+\vec{b}=(2;-1;2)\ \ ,\ \ \ \vec{a}-\vec{b}=(2;3;-2)\\\\(\vec{a}+\vec{b})\cdot (\vec{a}-\vec{b})=2\cdot 2-1\cdot 3-2\cdot 2=-3\\\\|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{9}=3\\\\|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{2^2+3^3+(-2)^2}=\sqrt{17}$

$cos\varphi =\dfrac{(\vec{a}+\vec{b})\cdot (\vec{a}-\vec{b})}{|\vec{a}+\vec{b}|\cdot |\vec{a}-\vec{b}|}=\dfrac{-3}{3\cdot \sqrt{17}}=-\dfrac{1}{\sqrt{17}}\\\\\\\varphi =\pi -arccos\dfrac{1}{\sqrt{17}}$