Question

Существует ли конечная геометрическая прогрессия с
натуральными членами, сумма всех членов которой равна 211? Жду подробного решения.

Answer 1

$b_{1};b_{2};b_{3}...b_{n}$ 
$b_{n}>b_{n-1}>b_{n-2}...$  
$S_{n}=frac{b_{1}(1-q^n)}{1-q}=211\ frac{b_{1}(1-q^n)}{211}=1-q$
заметим что число $211$ простое 
очевидно что $b_{1}$ не может быть кратно $211$,(это единственный выход),  так как сумма членов тогда может превышать числа $211$. 
Следовательно $1-q^n$ должно делится на $211$ 
Пусть  $b_{1}(1+q+q^2+q^3+...q^{n-1})=211$ $b_{1}$ придется равняться только $1$ так как ранее было уже сказано. 
$1+q+q^2+q^3+...q^{n-1}=211\ q+q^2+q^3+...q^{n-1}=210\ q(1+q+q^2+q^{n-2})=2*3*5*7$
очевидно $q$ может принимать значения либо $q=2\ q=3\ q=6$ так далее уже будет превышать , проверяя их приходит к тому что такой прогрессий не существует.